Mathe-Zehner | Differentialrechnung

Anschaulich stellen wir uns vor, dass man mit einem Fahrrad von {A{!links|rechts|oben|unten}} nach {A{links|!rechts|oben|unten}} über den Graphen fährt.

Bergauf bedeutet, die Steigung ist {A{!positiv|negativ|null}}; bergab bedeutet, sie ist {A{positiv|!negativ|null}}; weder bergauf noch bergab, dann ist die Steigung {A{positiv|negativ|!null}}.

Markiere alle Werte, die eine positive Steigung darstellen. (Mehrere Antworten können richtig sein.) {c{!$4$}} {c{!$2$}} {c{$-5$}} {c{!$\frac{1}{2}$}} {c{$-\sqrt{2}$}}

Eine Steigung hat den Wert $34$. Bestimme die Steigung, die halb so groß ist: {z{17}}

Ich denke mir eine Steigung, verdoppele ihren Wert und addiere $10$ hinzu. Der neue Wert der Steigung beträgt $32$.

Die ursprüngliche Steigung beträgt: {z{11}}.

Die Steigung eines Graphen ist erst negativ, dann null, dann positiv. Dies kann auf folgende Graphen zutreffen: {A{!Parabel, nach oben geöffnet|Parabel, nach unten geöffnet|Gerade mit positiver Steigung|Gerade mit negativer Steigung}}

Genau eine Aussage ist falsch. Wähle sie aus!

{r1{Positive Steigung, Steigung null, dann negative Steigung; dazwischen liegt ein Hochpunkt.}}

{r1{Positive Steigung, Steigung null, dann positive Steigung; dazwischen liegt ein Sattelpunkt.}}

{r1{!Negative Steigung, Steigung null, dann negative Steigung; dazwischen liegt ein Tiefpunkt.}}

{r1{Negative Steigung, Steigung null, dann positive Steigung; dazwischen liegt ein Tiefpunkt.}}

Gibt es Graphen, die an jeder Stelle die Steigung null haben? (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!ja}} {c{nein}} {c{!sogar unendlich viele}} {c{nur endlich viele}} {c{genau 67 verschiedene}}

Ich denke mir eine beliebige Steigung aus. Gibt es Graphen, die an jeder Stelle diese ausgedachte Steigung haben? (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!ja}} {c{nein}} {c{!sogar unendlich viele}} {c{nur endlich viele}} {c{genau 67 verschiedene}}

Stat „graphischem Ableiten“ sagt man auch „graphisches {l{Differenzieren}}“.

Gegeben ist eine Gerade mit der Steigung $m = 11$. Die Steigung ist also ... (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{nicht eindeutig definiert.}}

{r1{!an jeder Stelle gleich und beträgt $11$.}}

{r1{sehr schwer auszurechnen.}}

{r1{an jeder Stelle gleich und beträgt $11 \cdot 2 = 22$.}}

Den Graphen einer konstanten Funktion, z. B. mit der Funktionsgleichung $f(x) = 5$, nennt man auch ... (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Parallele zur x-Achse}} {c{!waagerechte Gerade}} {c{!horizontale Gerade}} {c{senkrechte Gerade}}

Der Ableitungsgraph einer linearen Funktion ist eine ... (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Parallele zur x-Achse}} {c{!waagerechte Gerade}} {c{!horizontale Gerade}} {c{nichts davon}}

Gegeben ist eine nach oben geöffnete Parabel. Der Ableitungsgraph ist ... (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{ebenfalls eine nach oben geöffnete Parabel.}}

{r1{eine nach unten geöffnete Parabel.}}

{r1{!eine Gerade mit positiver Steigung.}}

{r1{eine Gerade mit negativer Steigung.}}

{r1{eine konstante Funktion (Waagerechte, Parallele zur x-Achse)}}

Gegeben ist eine nach unten geöffnete Parabel. Der Ableitungsgraph ist ... (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{ebenfalls eine nach unten geöffnete Parabel.}}

{r1{eine nach oben geöffnete Parabel.}}

{r1{eine Gerade mit positiver Steigung.}}

{r1{!eine Gerade mit negativer Steigung.}}

{r1{eine konstante Funktion (Waagerechte, Parallele zur x-Achse)}}

Ein beliebiger Graph wird in y-Richtung verschoben. Welche Auswirkung hat das auf den Ableitungsgraphen?

{l{gar keine}}.

Gegeben ist eine konstante Funktion, z. B. $f(x) = 5$. Genau eine Aussage ist falsch!

{r1{!Die Steigung hat an jeder Stelle den Wert $5$, also ist der Ableitungsgraph eine konstante Funktion auf der Höhe $5$.}}

{r1{Die Steigung hat an jeder Stelle den Wert $0$, also ist der Ableitungsgraph eine konstante Funktion auf der Höhe $0$.}}

{r1{Die Steigung hat an jeder Stelle den Wert $0$, also ist der Ableitungsgraph identisch mit der x-Achse.}}

{r1{Bei jeder konstanten Funktion hat die Ableitung die Funktionsgleichung $f(x) = 0$.}}

Gegeben ist der Graph der Sinusfunktion mit dem Funktionsterm $sin(x)$. Der Graph der Ableitungsfunktion sieht .... (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{sehr ähnlich aus, nur in y-Richtung verschoben.}}

{r1{!sehr ähnlich aus, nur in x-Richtung verschoben.}}

{r1{gestreckt aus.}}

{r1{völlig anders aus.}}

Gib an, worauf sich der folgende Begriff bezieht: Stelle. (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{!x-Wert}}

{r1{y-Wert}}

Gib an, worauf sich der folgende Begriff bezieht: Funktionswert. (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{x-Wert}}

{r1{!y-Wert}}

Die Funktionswerte an den Stellen $x = 2$ und $x = 3$ sind gleich. Welche Gleichung beschreibt diese Aussage korrekt? (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{$2 = 3$}}

{r1{$f(2) = 3$}}

{r1{$2 = f(3)$}}

{r1{!$f(2) = f(3)$}}

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Eigenschaft $f(10) = \frac{1}{2}$.

Man sagt: Die {l{Funktion}} $f$ hat an der {l{Stelle}} $10$ den {l{Funktionswert}} $\frac{1}{2}$.

$f'(x)$ heißt auch {l{Ableitung}}.

Wenn aus einer Funktion $f$ die Funktion $f'$ wird, nennt man diesen Prozess ... (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Ableiten}}

{c{Aufleiten}}

{c{Diffizieren}}

{c{!Differenzieren}}

{c{Differenzialisieren}}

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Eigenschaft $f(3) = 5$. Welche Aussagen stimmen? (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Die Funktion $f$ hat an der Stelle $3$ den Funktionswert $5$.}}

{c{Die Funktion hat $f$ hat an der Stelle $5$ den Funktionswert $3$.}}

{c{Man sagt: „f von 5 ist gleich 3.“}}

{c{!Man sagt: „f von 3 ist gleich 5.“}}

An der Stelle $x = 3$ wird eine Tangente an den Graphen von $f$ eingezeichnet. Ein geeignetes Steigungsdreieck liefert die Information, dass die Tangente eine Steigung von $2,5$ hat. Welche Aussagen stimmen? (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Die Funktion $f$ hat an der Stelle $3$ eine Steigung von $2,5$.}}

{c{$f'(2,5) = 3$}}

{c{!$f'(3)=2,5$}}

{c{!Die Ableitung von $f$ an der Stelle $3$ beträgt $2,5$.}}

{c{Die Funktion $f$ hat an der Stelle $3$ den Funktionswert $2,5$.}}

An den Stellen $x = 3, x = 5$ und $x = 20$ hat die Ableitung den Wert $-1$. Welche Gleichungen beschreiben diese Aussage korrekt? (Genau eine Antwort stimmt.)

{r1{$3 = 5 = 20 = -1$}}

{r1{$f(3) = f(5) = f(20) = f(-1)$}}

{r1{$f(3) = f(5) = f(20) = -1$}}

{r1{$f'(3) = f'(5) = f'(20) = f(-1)$}}

{r1{!$f'(3) = f'(5) = f'(20) = -1$}}

Welche Aussagen über die Graphen von $f$ und $g$ stimmen? (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Beim Graphen von $f$ handelt es sich der Skizze nach zu urteilen um eine Parabel.}}

{c{!Beim Graphen vo $g$ handelt es sich der Skizze nach zu urteilen um eine Gerade.}}

{c{!Die vorhandenen Schnittpunkte von $f$ und $g$ liegen bei $x \approx -3$ und $x \approx 2,5$.}}

{c{!Wenn der Graph von $f$ eine Parabel und der Graph von $g$ eine Gerade sind, kann es keine weiteren Schnittpunkte geben.}}

Gib an, welche Antwort bezogen auf die oben dargestellten Funktionen korrekt ist. (Genau eine Antwort ist richtig.)

{r1{Beim Hochpunkt des Graphen der Funktion $g$ hat die zugehörige Ableitung $f$ eine Nullstelle.}}

{r1{Beim Hochpunkt des Graphen der Funktion $f$ hat die zugehörige Ableitung $g$ eine Nullstelle.}}

{r1{!Beim Tiefpunkt des Graphen der Funktion $f$ hat die zugehörige Ableitung $g$ eine Nullstelle.}}

{r1{Beim Tiefpunkt des Graphen der Funktion $g$ hat die zugehörige Ableitung $f$ eine Nullstelle.}}

Markiere die falsche Aussage. (Genau eine Antwort ist richtig.)

{r1{Im Intervall $]-\infty,-1,25[$ fällt der Graph der Funktion $f$.}}

{r1{!An der Stelle $x=-1,25$ hat die Funktion $f$ einen Nullstelle.}}

{r1{Im Intervall $]-1,25,\infty]$ steigt der Graph der Funktion $f$.}}

Markiere die falsche Aussage. (Genau eine Antwort ist richtig.)

{r1{Im Intervall $]-\infty,-1,25[$ hat $g$ negative Funktionswerte.}}

{r1{An der Stelle $x=-1,25$ hat die Funktion $g$ einen Nullstelle.}}

{r1{!Im Intervall $]-1,25,\infty]$ hat $g$ negative Funktionswerte.}}

Wäre die Funktion $g$ die Ausgangsfunktion, so wäre die Ableitung eine {l{konstante}} Funktion.

Wäre die Funktion $f$ die Ableitungsfunktion, so hätte die Ursprungsfunktion bei $x \approx -3,8$ wegen des {l{Vorzeichenwechsels}} von plus nach minus einen {l{Hochpunkt}} und an der Stelle $x \approx 1,25$ wegen des Vorzeichenwechsels von {l{minus}} nach {l{plus}} einen {l{Tiefpunkt}}.

Bestimme den Graphen der Ausgangsfunktion und den der Ableitungsfunktion! (Genau eine Antwort ist richtig.)

{r1{$\color{green}{g(x)}$ ist die Ausgangsfunktion, $\color{red}{f(x)}$ die zugehörige Ableitungsfunktion. Also wenn wir $\color{green}{g(x)}$ ableiten, erhalten wir $\color{red}{f(x)}$. In Formeln: $g'(x) = \color{red}{f(x)}$.}}

{r1{!$\color{red}{f(x)}$ ist die Ausgangsfunktion, $\color{green}{g(x)}$ die zugehörige Ableitungsfunktion. Also wenn wir $\color{red}{f(x)}$ ableiten, erhalten wir $\color{green}{g(x)}$. In Formeln: $f'(x) = \color{green}{g(x)}$.}}

Die Graphen von $f$ und $g$ werden an der x-Achse gespiegelt. Gib auf Grundlage der Graphen an, $g$ weiterhin der Ableitungsgraph von $f$ sein kann. (Genau eine Antwort ist richtig.)

{r1{!Ja}}

{r1{Nein}}

Gib an, welche Aussagen stimmen. (Mehrere Antworten können richtig sein.)

{c{!Verschöbe man den Graphen von $f$ in y-Richtung, würde sich die Ableitung $g$ nicht ändern.}}

{c{Verschöbe man den Graphen von $f$ in x-Richtung, würde sich die Ableitung $g$ nicht ändern.}}

{c{!Der Graph von $f$ bleibt unverändert. Jede Verschiebung des Graphen von $g$ in x- oder y-Richtung (ungleich Null) würde dazu führen, dass der Graphn von $g$ nicht mehr korrekt den Ableitungsgraphen von $f$ darstellen würde.}}